"a стремится к b" и возникающее противоречие

А стоп. Дело то в другом. Я сразу и не сообразил в чём подвох. Да, действительно получится противоречие, но ровно потому что вы его сами создали, нарушив условие самого определения стремления что |a-b|<eps. Непонятно чему тут удивлятся. =)

 

l_inc

Ну хорошо. Вот я взял некое "eps" и "a".

a -> b, abs(a - b) < eps

Возьмем delta = abs(a - b) / 2

Очевидно, что "a" не принадлежит проколотой delta-окресности точки "b". Иными словами, для любой eps > 0 существует такая delta > 0, что верно утверждение: "a" не принадлежит проколотой delta-окресности точки "b".

Иными словами, получается что "a" принадлежит любой проколотой окресности точки "b", однако всегда существует прокотолая окресность точки "b", которой она не принадлежит

 

_DEN_
Эм... я тут не совсем понимаю, к какому именно из данных определений стремления Вы ищете противоречие, но, если не ошибаюсь, согласно всем определениям неравенство должно выполняться не для "некоего" конкретно выбранного eps > 0, а для любого eps > 0. В том числе и для eps равного delta. Выбирая delta равным полуразности a и b, Вы опять таки нарушаете собственное определение.
В помощь пониманию:
Как правильно заметил SashaTalakin в посте 25, обычно сама по себе запись a -> b не рассматривается отдельно от записи lim(f(a)). Поэтому Вы либо принимаете полное определение предела функции в точке, а фразу "предел функции f от a при a, стремящемся к b" рассматриваете, как единое целое. Тогда понятие "стремления" является просто невыводимым (сюда же можно припомнить лезвие Оккама... да и парадокс Рассела из наивной теории множеств). Либо Вы принимаете определение, которое я дал в посте 10. Но тогда a Вы не рассматриваете ни как последовательность, ни как конкретное число, а как что-то определяемое данным определением.

 

_DEN_
http://www.college.ru/mathematics/courses/function/content/chapter1/section3/paragraph6/theory.html

 

l_inc

Нет-нет, брать delta = eps я как раз не хочу. Я лишь хочу сказать, что как бы не было "a" близко к "b", условие a != b гарантирует нам что между ними можно понаставить еще бесконечное количество точек. В человеческом же понимании запись a -> b претендует на то, чтобы "a" была ближайшей точкой к "b", что на непрерывном множестве в действительности невозможно - между "a" и "b" всегда будет несчетное множество значений (элементов), как бы там оно к нему не стремилось. Если же считать "a" ближайшей к "b", то возникает противоречие в силу непрерывности R. То есть, как мне кажется, на самом деле понятие "стремиться" не может быть четко сформулировано математическим языком - это скорее лемма.

В итоне я склоняюсь к тому, что мое определение в 1 посте не подходит - оно рождает противоречие в силу непрерывности множества R.


dag

Спасибо за ссылку, но я это все помню и это мне не помогло справиться с топиком

 

И еще, l_inc, мне не нравится, что вы говорите, что "a" надо выбирать на основе "eps", а не наоборот. "a" не должно зависеть от "eps" и не должно выбираться на основе eps - eps это всего лишь критерий для проверки условия вхождения в окресность. То есть "a" оно вот такое "a" и ни от чего зависеть не должно. Eps это всего лишь дополнительный инструмент, позволяющий показать свойства "a", а вы говорите о том, что "a" выполняется на основе "eps". То есть линейка это дополнительный инструмент, позволяющий измерить длину отрезка, однако отрезок - он сам по себе, он от линейки не зависит.

 

_DEN_

Вижу, что не хотите. Но Вы всё равно не сможете выбрать delta < eps, потому как eps не фиксировано. Это не конкретное число, а любое. Наоборот: Вы выберете сначала delta каким-то конкретным, а потом всё равно найдётся eps, которое меньше delta.

Вы прочитали мой предыдущий пост? А последнее предложение? Если Вы принимаете это определение, то Вы не можете рассматривать a ни как конкретное число/точку, ни как последовательность. Вы ведь как-то приняли в своё сознание значок бесконечности? Но Вас ведь не смущает, что какое бы конкретное число из R Вы не взяли, оно всё равно будет строго меньше этого значка. Даже несмотря на то, что R бесконечно. Вот так и здесь. Какое бы конкретное число из R Вы не взяли, a будет ближе к b, чем это число. Именно это и утверждает данное Вами определение.
Так что данное Вами определение рождает не больше противоречий, чем значок бесконечности.
К посту 48.
Сравнение с отрезком и линейкой неправильное. И, как я уже сказал, а не выбирается. Оно есть. Но ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ оно через eps.

 

l_inc

Я тоже хотел вспомнить про бесконечность. Как нас учили, +inf и -inf это дополнительные элементы, в месте с R образующие расширеное множество вещественных чисел.

Дело в том, что -inf и +inf имеет свою собственную арифметику. То есть их вводят в R с отличительной арифметикой. Ну например не определены действия типа -inf + +inf, +inf / +inf, 1 ^ +inf, и т.д. Так же и со сравнением.

Так вот. Для того, чтобы не возникало противоречий, нужно чтобы стремящееся число обладало отличной от обычных чисел арифметикой. Например, если a -> b, то нельзя применять сравнение в таком вот случае: abs(a - b) / 2 < abs(a - b), точно также как и нельзя применять сравнение к +inf / 2 < +inf

 

_DEN_

Вообще-то a->b пишут исключительно в контексте пределов. Поэтому никакой арифметики с a за пределами этого контекста нет. Она просто не вводится. Вводится только арифметика для работы с самими пределами на основе общеизвестных определений предела. А в контексте пределов Вы легко можете написать:
lim((a-b)/2) = 0
a->b

 

_DEN_
Там в самом начале есть ключевая фраза, прямо под графиками (1.3.6.1 и 1.3.6.2), а чуть выше Определение предела по Гейне + куча хороших примеров чтобы всё это переварить (они ниже =) =) А вообще: подоSHELL бы к преподу после семинара или лекции и замучал его своими вопросами =)))

 

l_inc

F(x, y), F : X, X -> N - функция значение которой равно количеству элементов множества X, находящихся между "a" и "b"

Пусть b принадлежит R. Тогда:

lim F(a, b) = ?
a -> b


dag

Последняя лекция по матану у меня была... лет восемь назад

 

_DEN_
Я так понимаю, что функция возвращает число элементов интервала, не включая границы. Т.е. F(x,y) = #( ]x,y[ ).
Тогда
lim F(a, b) = 0
a -> b

Если F(x,y) = #( [x,y] ), то
lim F(a, b) = 1
a -> b

 

_DEN_
Вот тебя прибило через такое время =)))))))))))))))

 

l_inc

Все, теперь кажеццо ясно.

Я думаю что эта запись вне предела просто не имеет смысла. Давайте посмотрим, как мы "решаем" пределы? Мы подставляем "a" вместо "b" и смотрим, есть ли неопределенность. Если нет - то просто считаем что получается. Если есть - то выполняем алгебраические преобразования таким образом, чтобы неопределенность исчезла и опять просто считаем, что получается.

Лишь предел

lim(1/x) = +- inf
x -> +-0

не подчиняется описанию выше. Однако этот предел никак не выводится - мы просто вводим +-inf в R и сразу говорим что у него вот такое свойство.

То есть стремление как таковое, как математический оператор (функция/зависимость/и т.д.) никак не обособляется и не используется при решении пределов, и поэтому - никакого стремления в строго математическом смысле не существует. Можно легко показать, что никакая константа не может удовлетворять моему ошибочному определению стремления из поста #1.


dag

Ну у меня бывают сезонные обострения...)

 

_DEN_

Имеет или нет, а у Вас шла речь о понимании конкретно этой записи. И так получилось, что этой записи можно дать вполне чёткое формальное определение, вычленив его непосредственно из определения предела.

Не-а. Неверно. Подстановка числа a вместо b - это лишь упрощение формального решения. Формальное решение должно основываться на определении. Например,
lim (sgn(x)) = +-1
x -> +-0
несмотря на то, что sgn(0) = 0.

Тоже неверно. Это свойство следует непосредственно из определения предела (которое несколько модифицировано для бесконечности):
для любого eps > 0 существует такое delta (зависящее от eps) > 0, что для любого a из проколотой delta-окресности точки b действительно, что f(a) > eps.
Если Вы это доказываете для функции f(x) = 1/x, то Вы имеете право написать вышеуказанную Вами запись. Но она ни в коем случае не даётся, как аксиома.

Используется. Как раз постольку, поскольку является частью определения предела функции в точке.

Эту фразу не догнал. Ну... эм... покажите.
P.S. Да... в посте 54 - это мой прогон. В случае закрытого интервала пределом должна быть бесконечность.
P.P.S. Фразу догнал. В очередной раз повторяю: давая такое определение, Вы не рассматриваете a, как константу.

 

l_inc

Ну да... Про точки разрыва я как-то не подумал

Ну хорошо. Тогда сформулируйте, что же такое a в записи a -> b? Чем оно может быть? Мы используем его как элемент множества R, то есть как число.

* Если это число, то оно могло бы быть обычной константой. Но мы уже выяснили, что оно - не константа.

* Если оно не константа - то оно могло бы быть функцией. Тогда что это за функция? Что у нее за аргументы?

* Оно могло бы быть пределом некоторой последовательности, но мы во-первых, не можем объяснять что такое стремление через предел последовательности, потому что в самом пределе последовательности используется стремление (номер члена стремится к +inf), и во-вторых - предел последовательности это обычная числовая константа.

* Оно могло бы быть случайной величиной, но это противоречит здравому смыслу)

* И наконец "a" могло бы быть результатом некоего оператора, примененному к числу "b". Тогда что это за оператор?

 

_DEN_
В принципе уже сформулировал в посте 10. Но уже что-то не уверен, что смогу всегда его защитить. Или если и смогу, то оно будет оторванным и ни к чему не применимым.
Тем более, что в посте 54 прогон у меня не только в случае закрытого интервала. При открытом интервале там тоже должна быть бесконечность.
В общем "стремление" само по себе обычно не рассматривается. И на этом можно ставить точку, остановившись только на определении предела.

 

_DEN_
"a->b" не имеет смысла в отрыве от контекста. Имеет смысл лишь "a->b при c->d" как неформальный эквивалент выражения Limit[a[c], c->d] == b.

 

Ну короче я считаю что нет никакого стремления как математического понятия.

Говоря

lim f(a)
a -> b

Мы говорим лишь то, что мы рассматриваем предельное поведение функции f в точке b, и никто тут никуда не стремится - это просто, как говорят в программировании, синтаксический сахар.

 

Ну тогда еще один вопрос на засыпку:
0,(9) < 1
Верно неравенство или нет? =)