"a стремится к b" и возникающее противоречие

У нас на матане сразу начали с пределов. Само понятие "стремиться", на сколько я помню, не рассматривалось.

На сколько я понимаю, "a стремится к b" озачает, что для любой eps, верно утверждение "a пренадлежит проколотой eps-окресности b". То есть под словом "стремиться" не подразумевается никакого действия - это скорее некое стационарное состояние.

"a стремится к b", как я понимаю, означает что a != b.

Тогда возьмем eps = abs(a-b) / 2, и получим противоречие. По-простому это противоречие звучит так: "a ближе к b, чем половина расстояния от a до b".

 

Стер то что написал т.к. не помню ничего уже =)

 

Вообщем у тебя a много, а стремление означает что для любой окрестности вокруг b найдется a которое в эту окрестность попадает, так что это именно процесс, а не "стационарное явление"

eps = abs(a-b) / 2

Ты тут взял какой-то один a, но существуют другие a которые в эту эпсилон попадут в этом и заключается стремления переменной к числу

 

Должны были. Это же определение предела.

Неверно. Последовательность не может принадлежать любой eps.

Не стационарна оно.

Читаем определение у нас есть последовательность чисел {Xn}
Где n принадлежит множеству натуральных чисел. И есть некоторая постоянная a.
Число a называется приделом последовательности {Xn}. Если для любого положительного числа eps найдется такое натуральное число N, зависящее от eps, что для всех натуральных n>N будет выполняется не равенство
|Xn-a|<eps (n>N)

При этом будем писать Lim Xn=a
Или Xn->a.
И будем говорить что переменная Xn стримится к a или последовательночть {Xn} стремиться к a.

 

Pavia
а как быть со стремлением аргумента функции к какому-то числу. Аргумент функции это же не последовательность а вещественная переменная

 

Pavia

Вот определение предела функции, как его давали нам, слово-в-слово:

"Число b называется пределом функции f: X->Y (X принадлежит R, Y принадлежит R) в точке a, если для любого eps > 0 существует такое delta > 0, что для любого x из пересечения множества X и проколотой delta-окресности точки a справедливо утверждение что f(x) принадлежит eps-окресности (не проколотой) точки b".

Про стремление - ни слова.

Идем дальше:

зависящее от eps - Во-первых, это уточнение не имеет смысла.

Во-вторых - ты говоришь о пределе последовательности, а я - о пределе функции вещественной переменной. Это разные понятия, прекрасно существующие друг без друга.


SashaTalakin

Откуда такая информация? Можно точное определение и его автора? Откуда взялась последовательность значений? В определении предела функции вещественной переменной никакая последовательность не рассматривается.

 

Кстати, из названия темы можно понять, что речь не идет о последовательности значений

 

SashaTalakin
Есть определение предела последовательности. А есть определение предела по Коши.

Вопервых зависит от функции. Но если у вас она вещественная. То смотри определение по Коши.

 

Pavia

Ну вот нам походу и давали "определение предела по Коши". И никакой последовательности или стремления как дейсвия там нет.

 

Pavia

Если быть точным, то есть определение предела последовательности, а есть определение предела функции в точке. Определение предела по Коши - это одно из возможных определений предела функции в точке.
То, что написал _DEN_, - это смесь определения по Коши и определения в eps-delta-терминологии. Хотя в строгости оно не потеряло.
Стремление x -> a означает принадлежность x любой окрестности числа a с радиусом большим нуля, но при этом
x != a. И это не совсем определение предела, а только его часть.
Формальное определение: ( (для любого eps>0) => (0 < |x-a| < eps) ) <=> (x -> a)

 

"значений"? Такого теримина в математике нет. Это что константа или переменна? Если константа то все легко. Если переменная то к кому множеству пренодлежит? Если к счетному, то можем пронумировать и у нас будет последовательность. Можешь посмотреть определение придела функции по Генее.

Если не к счетному тогда сложнее. Смотри определение Коши.

 

Стремление это вообще не предел. Предел определяется для аргумента стремящегося уже к точке. А стремление это примерно то что я написал в #3. Т.е. там формулируется точка окрестность вокруг нее. Она называется предельной для множества каких-то переменных если они попадают в любую ее такую окрестность. И в этом случае стремление к этой точке подразумевает выбор сколь угодно малой эпсилон окрестности вокруг этой точки. Не вздумай только на экзамене это говорить

 

SashaTalakin

Нет... Стремление - это "примерно" не то, что Вы написали в посте 3, а точно то, что написал _DEN_ в посте 1.
Почему Pavia написал, что это неверно, не понимаю.

 

_DEN_

"a стремится к b" - всего лишь словесное сокращение. В развернутом виде означает следующее:

Есть последовательность (a_{i}), i=1,2..., которая имеет пределом b (смотри определение предела последовательности). Переменная a последовательно принимает значения a_{i}.

Вот и все, на этом тему можно было бы закрыть с самого начала.

>>зависящее от eps - Во-первых, это уточнение не имеет смысла.

Без этого уточнения не было бы определения. Медитируй до просветления

 

l_inc я впринципе не настаиваю. Но там написано определение предела функции. тобиж определение такой записи:

lim f(x) = y
x -> a

Вот нижняя запись это и есть стремление. Которое кстати в этом определении соответствует тому что я написал в #3 и в #12 - т.е. это выбор сколь угодно малой окрестности вокруг a, которая в как бы ни была мала пересечет множество Х. Вот это стремление и есть, а вы все определение пределов рассматриваете.

 

SashaTalakin

Кто это "вы"? O_O Только Pavia.

_DEN_

Вы неверно трактуете своё собственное определение. Сначала выбирается eps, а потом уже говорится, что a всегда находится в eps-окрестности b. Т.е. Вы не можете выбрать eps на основе a.
Это называется "порочный круг". Вы определяете a через eps, а eps через a. Потому и приходите к противоречию.

 

l_inc

Вот смотри

Возьмем любое eps к примеру = 1. "a" это у нас "f(x)" А f(x) Не пренадлежит eps так как может быть просто шире, к примеру f(x)принадлежит диапозону [-2..2].
Дело в том что определение строиться в обратном порядке. Если "x пренадлежит проколотой eps-окресности b" и для этого x выполняется равенство |f(x)-b|<eps тогда существует придел.

 

Pavia

С этого момента уже неправильно. f(x) здесь вообще не причём. Есть только одна единственная запись a -> b. Вот и дайте формальное определение этой записи. Примерно, как последняя строка в посте 10.

 

Что сия запись означает вообще непонятно. Как формальное определение оно точно не годится, если даете определение на пальцах чтобы понятно было, то делайте это на словах а не в кванторах.

Здесь у вас записано "примерно" определение предельной точки в частном случае. А стремление - это процесс (!) а не точка. Т.е. это процесс уменьшения окрестности до сколь угодно малой вокруг предельной точки

 

_DEN_, а вас еще непрерывность подстерегает, бррр...